Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

                Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Uraian Materi

Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan 1, 2, 3, 4, …,      selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,  ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama  dengan  1.  Barisan  semacam  ini  disebut  barisan  aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.

Definisi

Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika

Un  - Un-1  = konstan,

dengan  n  =  2,  3,  4,....           Konstanta  pada  barisan  aritmatika  di  atas  disebut beda  dari barisan  itu  dan  sering  dinotasikan  dengan  b,  dan  U1   sering dinotasikan dengan a.

Contoh 2.1

1.    1, 2, 3,...  merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.

2.    1, -1, 1, -1,....  bukan barisan aritmatika sebab

U2  – U1  = -1 – 1 = -2 ?  2 = 1 – (-1) = U3 – U2

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika

Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,...  merupakan barisan aritmatika, maka unsur

ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1  = a

U2  = a + b

U3= U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3+ b =(a + 2b) + b = a + 3b U5= U4+ b =(a + 3b) + b = a + 4b

          .

          .

          .

Un = a + (n -1)b

Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:

Un  = a + (n -1)b

Contoh 2.2

Diketahui  barisan  aritmatika  dengan  unsur ke 2 adalah 10 dan  beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.

Penyelesaian:

Diketahui  U2  = 10,  b = 2.

Dengan menggunakan rumus  Un  =  a  +  (n -1)b,

Diperoleh:

U2  = a + (2-1)b

U2  = a + b

  a=U₂ – b

= 10 – 2

= 8                     

    U7  = a + (7-1) b

= a + 6 b

= 8 + 6 (2)

= 8 + 12

= 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

Contoh 2.3

Mulai  tahun  2000,  Pak  Arman  mempunyai  kebun  tebu.  Penghasilan  kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun

2001, Pak  Arman  memupuk  kebun  tebunya  dengan  pupuk  kandang.  Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005?

Penyelesaian:

Misalkan:

a  =  penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b  =  perkiraan  kenaikan  penghasilan  kebun  tebu  Pak  Arman  setiap  akhir tahun.

P2005  = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-,  b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.

Karena  perkiraan  kenaikan  penghasilan  kebun  tebu  Pak  Arman  setiap akhir  tahun  adalah  tetap,  maka  untuk  menentukan  penghasilan  kebun  Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan

U1 = a = a  = Rp 6.000.000,-,  b = Rp 500.000.

P2005   =  U6  = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

=  6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Jadi  perkiraan  penghasilan  kebun  tebu  Pak  Arman  pada  akhir  tahun  2005

adalah Rp 8.500.000,-

Dengan  adanya  deret  aritmatika,  kita  dapat  membentuk  barisan  yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.

Definisi

Jika U1, U2, U3, ..., Un, ....      merupakan barisan aritmatka, maka

U1  + U2  + U3  + ... + Un, ....

disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

Jika Sn  menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1  + U2  +U3       +  ... +  Un,  ...., maka  Sn  =  U1  +  U2  +  U3  +  ... +  Un  dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut.

Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a

         Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un

2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.

2 Sn = n. (a + Un)

 Sn   = 1/2 n (a + Un)

Jadi    Sn   =  1/2 n (a + Un)  atau   Sn   = 1/2 n  ( 2a + (n - 1) b)

Latihan Soal

1.  Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini :

       a. 3, 6, 9, 12, ...

       b. 1, 6, 11, 16, ...

       c. -15, -8, -1, 6, ...

2.  Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut :

       a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50

       b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20

       c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50

3.  Tentukan nilai dari:

a.  2 + 7 + 12 +.... + 297

b.  30 + 26 + 22 +... + 2.

4. Tentukan x jika:

a. 100 + 96 + 92 + …  + x = 0.

b.  1 +  4 +  7 +         …  +  x  =  835

5.  Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmatika?

      a, a + x2, a + 2x2, a + 3x2, .....

      6. Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.

       a.  1, -1, -3, -5,....; n = 15.

       b.   4, 8, 12,....; n = 50.

      7.  Hitunglah:

     a.  30 + 25 + 20 +... + (-40).

     b.  2 + 10 +  18 +... + 72.

Untuk soal nomor 8-10

     Suku ke 5 suatu deret aritmatika adalah 22, jumlah suku ke 7 dengan suku ke 2    adalah 39. Tentukan jumlah 5 suku pertamanya. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika yang mempunyai:

8.  U6  = 5; U12 = -13.

9.  U13  = 8; U17  = 48.

    10.U7=14;U10=20